ゼータ関数

（引用)

値がわからないことで有名な級数の和の代表であるゼータ関数は、現代数学のもっとも根本的な関数である。ゼータ関数の歴史は、1734年にスイスの数学者L.オイラーが「自然数の平方の逆数の和」(下の等式の左辺)が「の平方の6分の1」(下の等式の右辺)になることを発見したことにはじまる。

自然数全体と円周率という、まったく無関係にみえるものがむすびついていることは、数学世界の奥深さを再認識させることになった。

さらにオイラーは「自然数のn乗の逆数の和」を、nが2のときだけでなく4, 6, 8, …という偶数の場合でももとめた。結果は、やはり円周率のn乗に有理数をかけたものとなった。これを

と書いてゼータ関数(z関数)とよぶようになったのは、1859年にドイツの数学者G.F.B.リーマンがはじめたことである。

(引用ここまで)

（Ｒｅｆ：エンカルタ百科：ゼータ関数）

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「ジップの法則とゼータ関数とπ(円周率)とe(自然対数の底)の関係について」

世の中の自然現象や人為的な現象(いずれも、粒子や人など､多くの要素の相互作用により生ずる)の結果、ジップの法則が現れることが多い。

このジップの法則は、ゼータ関数の１つである。

ゼータ関数において、ｓ＝２としたときにπ÷６となる。またｓが偶数の場合は、「πのなんとか乗÷定数」となる。このように、ゼータ関数という、「単純な式を機械的に繰り返し、繰り返し足してゆく」という操作から、円周率πが出てくる。

ゼータ関数からみると、円周率πは、無限に多くの級数の集まりにばらせる。
また、ゼータ関数から、ジップの法則の式が出てくる。

これらの２つ（ジップの法則の式と、円周率π）は、いずれもゼータ関数から現れてくる。

ジップの法則やゼータ関数は、指数的な性質があり、べき乗則（power's low）といわれる。

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正規分布の式には、πとｅが含まれる。

砂を上から落としていくと、砂粒間の相互作用により、その断面積は円形に、側面は指数的な曲線となり、この２つが１つの形に統合されている。

多くの粒子間の相互作用があるときには、πやｅは自然に現れてくるように思われます。

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オイラーの等式にはπとｅとｉが含まれる。ｉにより回転の要素が含まれることになる。

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これらのことから見ると、自然というのはｘｙｚの直交座標（原点から直角３方向への距離で現す）ではなく、ｒθψ（原点からの角度と距離で現す）で見るのがより”自然”に思われます。